2015——2016年南昌市高三数学二模(文科)试卷答案

NCS20160607 项目第二次模拟测试卷 数学(文科)参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 C 5 D 6 A 7 B 8 A 9 D 10 A 11 B 12 B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 3 ;14. ( x  1)2  ( y  3)2  8 ;15. 40 ;16. 20 三、解答题:本大题共 6 个题,共 70 分. 17.解: (Ⅰ)当点 P 在三角形 ABC 外,且 CP  AB 时, BCP  又 CP  1, BC  AB  cos 所以  6  3 ,所以 | BP |2  1  9  2 1 3cos 2  13 ,………4 分 3 2 , 3 1 13 39   sin BCP  ;……………………………………6 分 sin BCP sin 2 26 3 ( Ⅱ ) 以 点 C 为 原 点 , 过 点 C 且 平 行 于 AB 的 直 线 为 x 轴 , 建 立 直 角 坐 标 系 , 则 3 3 3 3 3 A( ,  ), B( ,  ) ,设 P(cos  ,sin  ) ,则 2 2 2 2     3 3 3 3 3 PA  PB  (cos   ,sin   )  (cos   ,sin   ) 2 2 2 2 9 9  cos 2   3 cos    sin 2   3sin    3sin   3 cos   1 4 4   2 3 sin(  )  1 ,……………………………………………………………………10 分 6     所以 PA  PB 的取值范围是 [2 3  1, 2 3  1] .……………………………………12 分 18.解: (Ⅰ)因为从 5 组数据中选取 2 组数据共有 10 种情况,每种情况都是等可能出现的,其 中有且只有 2 组数据是相邻 2 天数据的情况有 6 种, 所以 P  6 3  ;………………………………………………………………………6 分 10 5 (Ⅱ)由数据,求得 x  12, y  27 . 5 由公式,求得 b  , a  y  bx  3 . 2 5 ˆ  x  3 . ……………………………………9 分 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y 2 5 ˆ  10  3  22 ,|22-23|  1 ; 当 x=10 时, y 2 5 ˆ   8  3  17 ,|17-15|  1 . 同样,当 x=8 时, y 2 所以,该研究所得到的线性回归方程是不可靠的. ………………………………12 分 — 高三数学(文科)(模拟二)答案第 1 页 —

图1

19. (Ⅰ)证明: AB12  AB2  BB12  2 AB  BB1 cos60  3 ,所以 AB12  AB2  BB12 , ABCD , 所以 B1 A  AB ,又因为侧面 AA 1B 1 B  底面 所以 B1 A  底面 ABCD ,所以 B1 A  BD ,……………………………………3 分 又因为 ABCD 是正方形,所以 AC  BD ,所以 BD  平面 AB1C , 所以平面 AB1C  平面 BDC1 ;……………………………………………………6 分 (Ⅱ)因为 C1D / / B1 A ,所以 C1D / / 平面 AB1C ,……………………………8 分 1 1 3 .…………………………12 分   3 3 2 6 20.解: (1)设点 A( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,则 B( x1 ,  y1 ) , 所以 VC1  AB1C  VD AB1C  VB1  ACD  则 x12 y12 x2 2 y2 2   1,   1, a 2 b2 a 2 b2 因为 AD  AB ,所以 k AD   1 y y 1 y  y1 1 ,因此   2 , k  2 1 ,………2 分 k k x2  x1 4 x2  x1 b2  2 ( x2 2  x12 ) 1 y2 2  y12 b2 1 a    ,………………………………4 分 所以   2 4 x2  x12 x2 2  x12 a2 4 又 a  b  3, 2 2 解得 a2  4, b2  1 ,所以椭圆 C 的方程为 (2)因为 k  x2  y 2  1.……………………………6 分 4 y1 y ,所以 l2 : y  y1  1 ( x  x1 ) , x1 4 x1 3 令 y  0 得 xM  3x1 ,令 x  0 得 y N   y1 ,……………………………………9 分 4 1 9 所以 S△OMN  | OM |  | ON | | x1 y1 | , 2 8 2 x 2 因为 1  1  y1 | x1 y1 | ,且当 | x1 | 2 | y1 | 时,取等号, 4 9 所以△OMN 面积的最大值是 .…………………………………………………12 分 8 x 21.解: (Ⅰ) f '( x)  e  2ax  b ,所以 f '(0)  1  b , 1  (1)  2  b  1;…………………………………5 分 又 f (0)  1 ,所以 1  b  0  (1) x (Ⅱ) 记 g ( x)  f '( x)  e  2ax  1, 曲线 y  f ( x) 所有切线的斜率都不小于 2 等价于 g ( x)  2 对任意的 x  R 恒成立,…………………………………………………7 分 g '( x)  ex  2a , 当 a  0 时, g '( x)  0 , g ( x) 单调递增,所以当 x  0 时, g ( x)  g (0)  2 ,……9 分 g '( x)  0  x  ln( 2 a) , ( l 2 ) a 时, g '( x)  0 , x  ln(2a) 时, g '( x)  0 , 当 a  0 时, 且 x n — 高三数学(文科)(模拟二)答案第 2 页 —

图2

所以函数 g ( x) 的极小值点为 ln(2a) ,又 g (0)  2 ,所以 ln(2a)  0 , 所以 a   1 . 2 1 2 综上,实数 a 的取值集合是 { } .……………………………………12 分 请考生在 22~24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. 解: (Ⅰ)设圆 B 交线段 AB 于点 C , 因为 AB 为圆 O 一条直径,所以 BF  FH ,………………………2 分 又 DH ^ BD , 故 B 、 D 、 F 、 H 四点在以 BH 为直径的圆上 所以, B 、 D 、 F 、 H 四点共圆.……………3 分 所以 AB  AD  AF  AH .……………………4 分 (Ⅱ)因为 AH 与圆 B 相切于点 F ,由切割线定理得 AC  AB  BD  2 , AF 2  AC  AD ,即 2 2   2  2  AD , AD =4 ,………………………………6 分 1 所以 BD =  AD  AC   1,BF  BD  1 2 又 AFB  ADH , DH AD  则 , 得 DH  2 ………………………………8 分 BF AF 连接 BH ,由(1)可知 BH 为 D BDF 的外接圆直径 3 ……………10 分 2 2 23.解:(Ⅰ)由   2sin   2cos  ,可得   2 sin   2 cos 2 2 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x  y  2 y  2 x ,…………………………4 分 BH  BD2  DH 2  3 ,故 D BDF 的外接圆半径为  2 t  x  2   2 , (Ⅱ)直线 l 的方程为 :  y  2 t   2 化成普通方程为 y  x  2 ……………………………………………………………7 分 y  x  2 所以 AB  2 2 .………………………………………………………………………10 分 24.解: (Ⅰ)当 a = 1 时,不等式 f ( x) ³ 2 可化为 | x + 1| + | 2 x - 1|? 2 1 2 2 ①当 x  时,不等式为 3 x ³ 2 ,解得 x  ,故 x  ; 2 3 3 1 ②当 1  x  时,不等式为 2 - x ? 2 ,解得 x  0 ,故 1  x  0 ; 2 — 高三数学(文科)(模拟二)答案第 3 页 — 由  x2  y2  2 y  2x ,解得   x  0  x  2 或 …………………………………9 分 y  2 y  0

图3

③当 x  1 时,不等式为 - 3 x ? 2 ,解得 x   综上原不等式的解集为  x x  0, 或x  2 ,故 x  1 ;……………4 分 3   2  ………………………………………5 分 3 (Ⅱ) f ( x) £ 2 x 在 x  [ ,1] 时恒成立, 当 x  [ ,1] 时,不等式可化为 | ax  1| 1 ,………………………………………7 分 1 2 1 2 2  a  0, x 1 2 因为 x  [ ,1] ,所以   [4, 2] ,……………………………………………9 分 2 x 所以 a 的取值范围是 [2, 0] .………………………………………………………10 分 解得 2  ax  0   — 高三数学(文科)(模拟二)答案第 4 页 —

图4

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